Агранович родился 13 октября 1918 года в Орле. Как отмечается на сайте, посвященном его творчеству, при последующем составлении документов дата рождения Аграновича была записана как 14 ноября 1919 года.
Песни на собственные стихи бард начал сочинять с 1938 года. На фронте, во время войны, он продолжал сочинять песни, многие из которых впоследствии вошли в народный фольклор как анонимные.
После войны, в 1948 году, Евгений Агранович окончил Литературный институт им. Горького.
Агранович является автором таких песен, как "Последний рыцарь на Арбате", "Песня парашютистов" (из кинофильма "Прыжок на заре"
, "Скользит тропа среди камней", "Одесса-мама" (в соавторстве с Б.Смоленским), "Солдат из Алабамы". Одна из самых знаменитых его песен, "Я в весеннем лесу пил березовый сок", была написана в 1954 году для кинофильма "Ночной патруль". Впоследствии песню в фильм не взяли, однако позже она была использована в фильме "Ошибка резидента".
В 2001 году у Аграновича вышел двухтомник с прозаическими и поэтическими произведениями с авторскими иллюстрациями.